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地震波基础概念与公式推导

发布于 # 地震学基础

地震波基础概念与公式推导

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地震波可以先看作弹性介质中的机械波：用振幅描述“动得多大”，用周期、频率、角频率描述“时间上振动多快”，用波长、波数描述“空间上变化多快”，用相位追踪波峰波谷的位置。相速度描述单一相位面的传播速度，群速度描述波包或能量包络的传播速度；在均匀非频散介质中二者相等，在层状地球的面波中通常不同。[1-6]

一、核心符号与物理意义

符号名称常用单位定义或物理意义
u(x,t)u(x,t)位移/波场m, m/s, counts 等地震仪记录的地面运动或理论位移场，具体单位取决于是否去仪器响应。
AA振幅同 uu离平衡位置的最大偏移；能量通常与振幅平方相关。
TT周期s完成一次振动所需时间。
ff频率Hz = s^-1每秒振动次数，f=1/Tf=1/T。
ω\omega角频率rad/s相位随时间变化的速率，ω=2πf=2π/T\omega=2\pi f=2\pi/T。
λ\lambda波长m 或 km相邻同相点，例如两个相邻波峰，之间的距离。
kk角波数rad/m 或 rad/km相位随空间变化的速率，k=2π/λk=2\pi/\lambda。
ν\nu 或 1/λ1/\lambda普通波数cycles/m每单位长度包含多少个波长；注意它比角波数少一个 2π2\pi。
ϕ\phi相位rad标记波形在一个周期内走到哪里。
cc 或 vpv_p相速度m/s 或 km/s固定相位点，如波峰，沿传播方向移动的速度。
UU 或 vgv_g群速度m/s 或 km/s波包包络、能量集中区域或窄带信号到时对应的速度。
ss慢度s/m 或 s/km速度倒数，s=1/cs=1/c。
pp射线参数/水平慢度s/km层状介质中常写作 p=sin⁡i/vp=\sin i/v，沿射线路径保持不变。

说明：地震学文献常用 cc 表示面波相速度，用 UU 表示群速度；也常用 α\alpha 和 β\beta 分别表示 P 波、S 波速度。本文为便于阅读，公式尽量使用希腊字母和常用数学符号。

二、从简谐行波建立概念

一维向 +x+x 方向传播的简谐波可写成

u(x,t)=Acos⁡(kx−ωt+ϕ0)u(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\phi_0)

其中

ϕ(x,t)=kx−ωt+ϕ0\phi(x,t)=kx-\omega t+\phi_0

称为相位。相位不是“到时”，而是一个角度变量；相差 2π2\pi 的两个点物理状态相同。例如波峰可由

ϕ(x,t)=2πn,n∈Z\phi(x,t)=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}

描述。[1]

u(x,t)=Acos⁡(kx−ωt+ϕ0)u(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\phi_0) 的负号表示向 +x+x 方向传播（可以想象对于某个固定相位，随着 tt 增大 xx 也增大），也有写 u(x,t)=Acos⁡(ωt−kx+ϕ)u(x,t)=A\cos(\omega t-kx+\phi) 的，由于余弦函数是偶函数，所以本质上是相同的。

1. 周期、频率、角频率

固定空间位置 xx，让时间增加一个周期 TT 后，波形应回到同一状态：每秒变化量 × 一个周期的秒数 = 一个完整循环的相位变化 这里的 2π2\pi 单位是弧度，有时候 2π2\pi 单位可能是 s，要注意区分。

ωT=2π\omega T=2\pi

因此

T=2πωf=1Tω=2πf\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f&=\frac{1}{T}\\ \omega&=2\pi f \end{aligned}

频率是“每秒几个周期”，角频率是“每秒扫过多少弧度”。二者只差 2π2\pi，但在傅里叶变换、相位和频散公式中常用 ω\omega。[1,2]

2. 波长、波数、角波数

固定时间 tt，空间上相邻两个同相点之间的距离是波长 λ\lambda。同相要求

kλ=2πk\lambda=2\pi

所以

λ=2πkk=2πλ\begin{aligned} \lambda&=\frac{2\pi}{k}\\ k&=\frac{2\pi}{\lambda} \end{aligned}

普通波数有时写作 1/λ1/\lambda，单位是 cycles/km；角波数 kk 的单位是 rad/km。看到“wavenumber”时要先确认作者使用的是哪一种定义。[1]

3. 速度、波长和频率的基本关系

如果某一频率成分以相速度 cc 传播，则

c=λT=λf=ωkλ=cT=cf\begin{aligned} c&=\frac{\lambda}{T}=\lambda f=\frac{\omega}{k}\\ \lambda&=cT=\frac{c}{f} \end{aligned}

这个关系对单一频率成分成立。对于频散波，cc 本身依赖频率或周期，因此不能把一个固定速度套到所有频率上。[1,2]

三、相速度：固定相位面的传播速度

相速度的定义来自“相位不变”。取

ϕ=kx−ωt+ϕ0=常数\phi=kx-\omega t+\phi_0=\text{常数}

对时间求导：

kdxdt−ω=0k\frac{dx}{dt}-\omega=0

得到

c=dxdt=ωkc=\frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k}

这说明相速度是波峰、波谷或任意固定相位点的移动速度。若波写成 cos⁡(kx+ωt)\cos(kx+\omega t)，则固定相位要求 dx/dt=−ω/kdx/dt=-\omega/k，表示向 −x-x 方向传播。[1]

由一维波动方程得到相速度

线性一维波动方程可写作

∂2u∂t2=c2∂2u∂x2\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

令

u(x,t)=Aexp⁡[i(kx−ωt)]u(x,t)=A\exp\left[i(kx-\omega t)\right]

代入可得

−ω2Aexp⁡[i(kx−ωt)]=c2(−k2)Aexp⁡[i(kx−ωt)]\begin{aligned} -\omega^2 A\exp\left[i(kx-\omega t)\right] &=c^2(-k^2)A\exp\left[i(kx-\omega t)\right] \end{aligned}

约去公共因子：

ω2=c2k2ω=ckc=ωk\begin{aligned} \omega^2&=c^2k^2\\ \omega&=ck\\ c&=\frac{\omega}{k} \end{aligned}

这就是非频散介质的频散关系：ω\omega 与 kk 成正比，所有频率成分速度相同，波形传播时不展宽。[1,3]

四、群速度：波包包络或能量集中区的传播速度

真实地震记录不是无限长的单频正弦波，而是有限持续时间的波包。最简单的推导从两个频率、波数很接近的波开始：

u=cos⁡(k1x−ω1t)+cos⁡(k2x−ω2t)u=\cos(k_1 x-\omega_1 t)+\cos(k_2 x-\omega_2 t)

用三角恒等式合并：

u=2cos⁡(Δk x−Δω t2)×cos⁡(kˉx−ωˉt)\begin{aligned} u&=2\cos\left(\frac{\Delta k\,x-\Delta\omega\,t}{2}\right)\\ &\quad\times\cos(\bar{k}x-\bar{\omega}t) \end{aligned}

这里使用的三角恒等式是：

cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡(A−B2)cos⁡(A+B2)\cos A+\cos B=2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)

其中

kˉ=k1+k22ωˉ=ω1+ω22Δk=k2−k1Δω=ω2−ω1\begin{aligned} \bar{k}&=\frac{k_1+k_2}{2}\\ \bar{\omega}&=\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\\ \Delta k&=k_2-k_1\\ \Delta\omega&=\omega_2-\omega_1 \end{aligned}

第二个余弦项是快速振动的“载波”，按相速度

c=ωˉkˉc=\frac{\bar{\omega}}{\bar{k}}

移动；第一个余弦项是慢变化的包络，固定包络相位：

Δk x−Δω t=常数\Delta k\,x-\Delta\omega\,t=\text{常数}

得到包络速度：

U=dxdt=ΔωΔkU=\frac{dx}{dt}=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}

当两个频率无限接近时：

U=dωdkU=\frac{d\omega}{dk}

这就是群速度。MIT 的波动公开课和地震学公开课都用这一关系解释波包与面波频散。[3,4]

群速度与相速度的关系

设某一模式的相速度是波数的函数：

ω=c(k)k\omega=c(k)k

则

U=dωdk=d[c(k)k]dk=c+kdcdk\begin{aligned} U&=\frac{d\omega}{dk}\\ &=\frac{d[c(k)k]}{dk}\\ &=c+k\frac{dc}{dk} \end{aligned}

又因为

k=2πλk=\frac{2\pi}{\lambda}

有

U=c−λdcdλU=c-\lambda\frac{dc}{d\lambda}

如果写成频率形式，k=ω/c(ω)k=\omega/c(\omega)，则

dkdω=c−ωdcdωc2U=dωdk=c2c−ωdcdω=c1−ωcdcdω\begin{aligned} \frac{dk}{d\omega}&=\frac{c-\omega\frac{dc}{d\omega}}{c^2}\\ U&=\frac{d\omega}{dk}\\ &=\frac{c^2}{c-\omega\frac{dc}{d\omega}}\\ &=\frac{c}{1-\frac{\omega}{c}\frac{dc}{d\omega}} \end{aligned}

若写成周期形式，因为 ω=2π/T\omega=2\pi/T：

U=c1+TcdcdTU=\frac{c}{1+\frac{T}{c}\frac{dc}{dT}}

几个重要结论：

  1. 非频散介质中 dc/dk=0dc/dk=0，所以 U=cU=c。
  2. 频散介质中 UU 与 cc 通常不同。
  3. 群速度与相速度不是两个互相替代的名字；它们对应不同观测对象：相位点与波包包络。[4-6]

五、地震波中的 P 波、S 波、面波

IRIS/EarthScope 的教学资料把地震波概括为三类基本波动：穿过地球内部传播的 P 波和 S 波，以及沿地表或界面附近传播的面波，面波主要包括 Rayleigh 波和 Love 波。[7]

1. P 波与 S 波

在均匀各向同性弹性介质中，弹性波动方程可分解为体积胀缩项和旋转剪切项。MIT 地球物理公开课把它们对应为 P 波和 S 波，并给出速度：[8]

α=λL+2μρβ=μρ\begin{aligned} \alpha&=\sqrt{\frac{\lambda_L+2\mu}{\rho}}\\ \beta&=\sqrt{\frac{\mu}{\rho}} \end{aligned}

也常用体积模量 KK 表示 P 波速度：

α=K+43μρβ=μρ\begin{aligned} \alpha&=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}}\\ \beta&=\sqrt{\frac{\mu}{\rho}} \end{aligned}

其中：

因为稳定弹性介质通常满足 K>0K>0、μ≥0\mu\ge 0，所以 P 波通常快于 S 波。液体几乎不能支撑静态剪切应力，μ\mu 近似为 0，因此 S 波不能在液态外核中传播，这是利用地震波判断地球内部物态的关键证据之一。[8,9]

2. Rayleigh 波与 Love 波

Rayleigh 波和 Love 波沿地表或近地表结构传播，能量随深度衰减。层状介质中的面波速度依赖频率或周期，因此常表现出明显频散：不同周期的波以不同相速度和群速度传播。[5,6]

面波频散在地震学中极重要，因为不同周期的面波对不同深度敏感。粗略说，短周期、短波长更敏感于浅部结构；长周期、长波长能采样更深的地壳和上地幔。但这只是尺度判断，实际敏感深度还取决于波型、模式、速度结构、阵列孔径和反演方法。[4-6]

六、频散：为什么相速度和群速度会不同

频散关系是 ω\omega 与 kk 的关系：

ω=ω(k)\omega=\omega(k)

若

ω=ck,c=常数\omega=ck,\quad c=\text{常数}

则所有频率成分以同一速度传播，波形不展宽，称为非频散。均匀无限弹性介质中的理想 P 波、S 波在该意义下可近似看作非频散。

若 ω(k)\omega(k) 不是直线，或者相速度 c=ω/kc=\omega/k 随频率、周期或波长改变，则不同频率成分走得不同快，波包会拉长或变形，称为频散。层状地球中的 Rayleigh 波、Love 波通常是频散的。ANU 地震学课程明确指出 Love 波的相速度可以写成频率的隐式函数，因此会出现频散；MIT 地震学课程也用群速度曲线解释面波能量包传播。[5,6]

七、地震记录中如何测量这些量

1. 从时间域读周期和频率

在一条窄带近似的地震波形上，可以用相邻波峰间隔估计周期：

T=tn+1−tnf=1T\begin{aligned} T&=t_{n+1}-t_n\\ f&=\frac{1}{T} \end{aligned}

但真实地震记录常是多频率叠加，直接数波峰容易受噪声、多个模式和相位跳变影响。因此研究中通常先滤波，或转到频率域分析振幅谱与相位谱。USGS 将 spectrum 描述为振幅和相位随频率或周期变化的曲线，这正是地震信号处理中“频率含量”的基本表达方式。[10]

2. 由波包到时估计群速度

若震源到台站的路径长度为 LL，某一窄带滤波后的波包峰值到时为 tgt_g，则群速度近似为

U(T)=Ltg(T)U(T)=\frac{L}{t_g(T)}

面波群速度频散分析就是对不同中心周期滤波，拾取各周期波包到时，得到 U(T)U(T) 曲线。MIT 地震学课程指出，窄带滤波可隔离特定中心频率的波包，并用路径长度除以观测走时得到该频率的群速度。[4]

3. 由相位差估计相速度

两台站间距或路径长度为 LL，某一角频率 ω\omega 的相位差为 Δϕ\Delta\phi，理论上

kL=Δϕ+2πnkL=\Delta\phi+2\pi n

所以

k=Δϕ+2πnLc(ω)=ωk=ωLΔϕ+2πn\begin{aligned} k&=\frac{\Delta\phi+2\pi n}{L}\\ c(\omega)&=\frac{\omega}{k}\\ &=\frac{\omega L}{\Delta\phi+2\pi n} \end{aligned}

其中 nn 是整数，代表 2π2\pi 周期模糊。相速度测量的一个核心难点就是选对 nn，否则会发生 cycle skipping。长路径、大台距、低信噪比、多模式叠加和横向非均匀都会增加相位解缠难度。

4. 阵列中的波数和慢度

平面波在二维台阵中可写成

u(x,y,t)=Aexp⁡[i(kxx+kyy−ωt)]u(x,y,t)=A\exp\left[i(k_x x+k_y y-\omega t)\right]

波数向量为

k=(kx,ky)∣k∣=kx2+ky2\begin{aligned} \mathbf{k}&=(k_x,k_y)\\ |\mathbf{k}|&=\sqrt{k_x^2+k_y^2} \end{aligned}

相速度为

c=ω∣k∣c=\frac{\omega}{|\mathbf{k}|}

慢度向量为

s=kω∣s∣=1c\begin{aligned} \mathbf{s}&=\frac{\mathbf{k}}{\omega}\\ |\mathbf{s}|&=\frac{1}{c} \end{aligned}

这就是频率-波数分析、波束形成和阵列慢度估计的基本联系。地震学中也常用射线参数 pp 表示水平慢度；在水平层状介质中，Snell 定律给出

p=sin⁡ivp=\frac{\sin i}{v}

并沿射线路径保持不变。[8]

八、常见推导汇总

1. 基本换算

f=1Tω=2πf=2πTk=2πλc=λT=λf=ωk\begin{aligned} f&=\frac{1}{T}\\ \omega&=2\pi f=\frac{2\pi}{T}\\ k&=\frac{2\pi}{\lambda}\\ c&=\frac{\lambda}{T}=\lambda f=\frac{\omega}{k} \end{aligned}

2. 相速度

ϕ=kx−ωt+ϕ0=常数dϕdt=kdxdt−ω=0c=dxdt=ωk\begin{aligned} \phi&=kx-\omega t+\phi_0=\text{常数}\\ \frac{d\phi}{dt}&=k\frac{dx}{dt}-\omega=0\\ c&=\frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k} \end{aligned}

3. 群速度

U=dωdkω=c(k)kU=c+kdcdkU=c−λdcdλU=c1−ωcdcdωU=c1+TcdcdT\begin{aligned} U&=\frac{d\omega}{dk}\\ \omega&=c(k)k\\ U&=c+k\frac{dc}{dk}\\ U&=c-\lambda\frac{dc}{d\lambda}\\ U&=\frac{c}{1-\frac{\omega}{c}\frac{dc}{d\omega}}\\ U&=\frac{c}{1+\frac{T}{c}\frac{dc}{dT}} \end{aligned}

4. 弹性体波速度

P wave:α=λL+2μρ=K+43μρS wave:β=μρ\begin{aligned} \text{P wave:}\quad \alpha&=\sqrt{\frac{\lambda_L+2\mu}{\rho}}\\ &=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}\mu}{\rho}}\\[4pt] \text{S wave:}\quad \beta&=\sqrt{\frac{\mu}{\rho}} \end{aligned}

5. 相速度观测公式

k=Δϕ+2πnLc(ω)=ωLΔϕ+2πn\begin{aligned} k&=\frac{\Delta\phi+2\pi n}{L}\\ c(\omega)&=\frac{\omega L}{\Delta\phi+2\pi n} \end{aligned}

6. 群速度观测公式

U(T)=Ltg(T)U(T)=\frac{L}{t_g(T)}

九、容易混淆的点

  1. 频率和角频率不是同一个量。 ff 的单位是 Hz，ω\omega 的单位是 rad/s；公式中漏掉 2π2\pi 会导致速度、波数或相位错误。
  2. 波数也有两套习惯。 地震学和物理推导多用角波数 k=2π/λk=2\pi/\lambda；有些工程语境用 1/λ1/\lambda。
  3. 相速度不是质点运动速度。 地震仪记录的地面质点在局部振动，相速度描述波形相位在空间中的传播。
  4. 群速度不总等于能量速度，但在常规弱耗散、窄带面波分析中常被用作能量包络速度。 强衰减、强散射、多模式混合时要谨慎解释。
  5. λ=cT\lambda=cT 中的 cc 应是该周期对应的相速度。 对频散面波，不能用一个固定速度换算所有周期的波长。
  6. 短周期更浅、长周期更深只是经验方向。 真正的深度敏感性要看灵敏度核，而不只看波长。
  7. 相位差只能确定到 2π2\pi 的整数倍。 相速度曲线看似平滑不代表没有选错周期数。
  8. P/S 波速度公式适用于均匀各向同性弹性近似。 实际地球有各向异性、非弹性衰减、孔隙流体、裂隙和尺度效应，速度解释不能只看一个公式。

十、面向地震学应用的理解路线

  1. 先把地震记录看作多频率波的叠加：时间域看到到时和波包，频率域看到振幅谱与相位谱。
  2. 用 TT、ff、ω\omega、λ\lambda、kk 建立时间尺度与空间尺度的换算。
  3. 用相速度追踪相位，用群速度追踪窄带波包。
  4. 对体波，先理解 P 波、S 波速度由弹性模量和密度控制。
  5. 对面波，重点理解层状介质导致频散，因此需要相速度/群速度频散曲线。
  6. 进入成像或反演时，不要只问“测到了速度没有”，还要问：台站几何够不够、频带是否可靠、相位是否解缠、模式是否混合、路径覆盖是否支撑反演。

检索策略与来源覆盖

本次检索使用的核心查询包括：

来源覆盖包括：

本文没有把通用百科作为控制性引用；个别数值经验也尽量避免写成普适定律。

集中引用与链接

[1] OpenStax, University Physics Volume 1, 16.2 “Mathematics of Waves”. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/16-2-mathematics-of-waves

[2] OpenStax, Physics, 13.2 “Wave Properties: Speed, Amplitude, Frequency, and Period”. https://openstax.org/books/physics/pages/13-2-wave-properties-speed-amplitude-frequency-and-period

[3] MIT OpenCourseWare, 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves, Chapter 10 “Signals and Fourier Analysis”. https://ocw.mit.edu/courses/8-03sc-physics-iii-vibrations-and-waves-fall-2016/7a86f546565e2180f8f00e86c2ed9982_MIT8_03SCF16_Text_Ch10.pdf

[4] MIT OpenCourseWare, 12.510 Introduction to Seismology, Lecture 12 PDF, surface waves, phase velocity and group velocity. https://ocw.mit.edu/courses/12-510-introduction-to-seismology-spring-2010/c08aed6151a62870da275f098690bd3d_lec12.pdf

[5] Australian National University, PEAT8002 Seismology Lecture 5, “Surface waves and dispersion”. https://rses.anu.edu.au/~nick/teachdoc/lecture5.pdf

[6] GFZ / ETH-style open chapter, “Seismic Wave Propagation and Earth models”, Chapter 2. https://gfzpublic.gfz.de/pubman/item/item_4005_5/component/file_4006/Chapter_2_rev1.pdf

[7] IRIS/EarthScope, “Seismic Waves: P, S, and Surface”. https://www.iris.edu/hq/inclass/video/seismic_waves_p_s_and_surface

[8] MIT OpenCourseWare, 12.201 Essentials of Geophysics, Chapter 4 “Seismology”. https://ocw.mit.edu/courses/12-201-essentials-of-geophysics-fall-2004/b78f19037066b01c0977aa9dda43b225_ch4.pdf

[9] GeoSci.xyz / Geophysics for Practicing Geoscientists, “Seismic Velocity”. https://gpg.geosci.xyz/content/physical_properties/seismic_velocity_duplicate.html

[10] USGS Earthquake Hazards Program Glossary. https://www.usgs.gov/glossary/earthquake-hazards-program